Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông có cạnh nhỏ hơn 3, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=3\sqrt{2}$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ theo thứ tự tại các điểm $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$. Biết diện tích tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Cạnh hình vuông có độ dài bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;3\sqrt{2})$ với $a<3$ là cạnh hình vuông. Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{SC}=(a;a;-3\sqrt{2})$, nên $(\alpha ):ax+ay-3\sqrt{2}z=0$.

Tọa độ giao điểm: với $B^{\prime }$ trên $SB$: $B^{\prime }=S+t_B(B-S)$, thay vào phương trình mặt phẳng: $a^2{t}_B-18(1-t_B)=0\Rightarrow t_B=\frac{18}{a+18}$. Tương tự $t_C=\frac{9}{a+9}$ cho $C^{\prime }$ trên $SC$, và $D^{\prime }$ đối xứng với $B^{\prime }$ qua đường chéo $A{C}^{\prime }$.

Ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\left(a{t}_B;0;3\sqrt{2}(1-t_B)\right)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(a{t}_C;a{t}_C;3\sqrt{2}(1-t_C)\right)$ với $1-t_B=\frac{a}{a+18}$, $1-t_C=\frac{a}{a+9}$, $t_C-t_B=-\frac{9a}{(a+9)(a+18)}$.

Tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ giác kite đối xứng qua $A{C}^{\prime }$ nên $S_{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=2S_{△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}|$.

Tính tích có hướng: thành phần $i=-3\sqrt{2}a{t}_C(1-t_B)$, $j=3\sqrt{2}a(t_C-t_B)$, $k=a^2{t}_B{t}_C$. Vì $t_C(1-t_B)=\frac{9a}{(a+9)(a+18)}$ nên $t_C^2(1-t_B{)}^2=(t_C-t_B{)}^2=\frac{81a^2}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}$, và $t_B{t}_C=\frac{162}{(a+9)(a+18)}$.

Do đó $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}{|}^2=\frac{18a^2\cdot 2\cdot 81a^2+a^4\cdot 162^2}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}=\frac{29160a^4}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}$.

Cho diện tích bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$: $\frac{29160a^4}{(a+9{)}^2(a+18{)}^2}=\frac{2}{9}\Rightarrow (a+9)(a+18)=162\sqrt{5}{a}^2$.

Giải phương trình $(162\sqrt{5}-1)a^2-27a-162=0$ với $a>0$: $a=\frac{27+\sqrt{729+648(162\sqrt{5}-1)}}{2(162\sqrt{5}-1)}\approx 0,708$ (thỏa $a<3$).

Vậy cạnh hình vuông $\approx 0,71$, trùng với đáp án nguồn.