Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $SO\perp (ABCD)$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $SA=a$. Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SA$.

Đáp án chính thức (Mã đề 1354, Phần II, Câu 2, trang 9): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai. Lý giải từng ý do AI solution agent bổ sung, nhất quán với đáp án chính thức.
a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD\perp AC$; lại có $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$. Suy ra $BD\perp (SAO)$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Đúng khớp bảng đáp án chính thức Mã đề 1354, Phần II, Câu 2, trang 9.)
b) Đúng. Từ ý a), $BD\perp (SAO)$ nên $OB\perp SA$; vì $OE\perp SA$ (E là hình chiếu của O trên SA) nên $SA\perp (OBE)$, do đó $SA\perp BE$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Đúng khớp bảng đáp án chính thức.)
c) Sai. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ có $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $SA=a$ nên $OA=\sqrt{a^2-\frac{6a^2}{9}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Diện tích tam giác $SOA$: $\frac{1}{2}SA\cdot OE=\frac{1}{2}SO\cdot OA$ suy ra $OE=\frac{SO\cdot OA}{SA}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}\ne \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Sai khớp bảng đáp án chính thức.)
d) Sai. Vì $SA\perp BE$ và $SA\perp OE$ nên góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{OEB}$. Hình thoi cạnh $a$ có $OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$ nên $OB=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Tam giác $OEB$ vuông tại $O$: $\tan \widehat{OEB}=\frac{OB}{OE}=\frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{2}/3}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{OEB}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Sai khớp bảng đáp án chính thức.)