Cho hai hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ và $y=g(x)=-x^2+x$.



Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$; với $S$ bao gồm hai phần $S_1,S_2$ như hình vẽ trên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2-(-x^2+x)=x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$, nên hai đồ thị cắt nhau tại $x=-1,x=1,x=2$.

a) $S_2$ là phần giữa $x=1$ và $x=2$. Trên $(1;2)$, $f(x)-g(x)<0$ nên $S_2={\int }_1^2(g(x)-f(x))dx=-{\int }_1^2(x^3-2x^2-x+2)dx$. Nguyên hàm $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x$; $F(2)=\frac{2}{3}$, $F(1)=\frac{13}{12}$, nên $S_2=-\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{12}\right)=\frac{5}{12}$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Diện tích phải dùng giá trị tuyệt đối: $S={\int }_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx={\int }_{-1}^1(f-g)dx+{\int }_1^2(g-f)dx$, không thể viết trực tiếp ${\int }_{-1}^2(x^3-4x^2-x+2)dx$ (thiếu dấu giá trị tuyệt đối, và biểu thức trong tích phân cũng sai vì $f-g=x^3-2x^2-x+2$). Mệnh đề SAI.

c) $V=\pi {\int }_1^{2}g(x{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2(x^2-x{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\pi \left(\frac{31}{5}-\frac{15}{2}+\frac{7}{3}\right)=\frac{31\pi }{30}$. Đề nói $V=\frac{31}{30}$ (thiếu $\pi$) nên SAI.

d) $f(x)=x(x-1)(x-2)$... thực tế $f(x)=x^3-3x^2+2$, $f(1)=0$, $f(2)=-2$. Diện tích $={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$ với nguyên hàm $G(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$: $G(1)=\frac{5}{4}$, $G(2)=0$, nên diện tích $=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 1$. Mệnh đề SAI.

So sánh với đáp án nguồn (Đ S S S): khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;2)$, $g-f=-(x^3-2x^2-x+2)$; $S_2=-\left[F(2)-F(1)\right]=-\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{12}\right)=\frac{5}{12}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng ${\int }_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx$; ngoài ra $f-g=x^3-2x^2-x+2$ chứ không phải $x^3-4x^2-x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2(x^2-x{)}^{2}dx=\frac{31\pi }{30}$, không phải $\frac{31}{30}$ (thiếu $\pi$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 1$.