Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$, $BN=\frac{1}{3}BD$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),F(0,0,1),E(1,0,1)$. Tâm $O$ của $ABCD$ là trung điểm $BD$: $O(0,5;0,5;0)$; tâm $O^{\prime }$ của $ABEF$ là trung điểm $AE$: $O^{\prime }(0,5;0;0,5)$. Vậy $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\parallel (0;-1;1)$. a) Mặt $(ADF)$ có phương trình $x=0$, vectơ $(0;-1;1)$ song song với mặt phẳng và $O\notin (ADF)$ nên $O{O}^{\prime }\parallel (ADF)$: đúng. b) Mặt $(BCE)$ có phương trình $x=1$, vectơ $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ song song với mặt phẳng và $O\notin (BCE)$ nên $O{O}^{\prime }\parallel (BCE)$, không cắt: sai. c) Theo giả thiết $BN=\frac{1}{3}BD$ nên $\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$: sai. d) $M=A+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=(\frac{1}{3};0;\frac{1}{3})$, $N=B+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$, $\overrightarrow{MN}\parallel (1;1;-1)$. Mặt $(CDFE)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CF}=(0;1;1)$, phương trình $y+z=1$. Vì $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{n}=0$ và $M$ có $y+z=\frac{1}{3}\ne 1$ nên $MN\parallel (CDFE)$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên, $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\parallel (0;-1;1)$ nằm trong phương trình mặt $(ADF):x=0$, và $O\notin (ADF)$, nên $O{O}^{\prime }\parallel (ADF)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt $(BCE):x=1$ cũng song song với $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\parallel (0;-1;1)$ và $O\notin (BCE)$, nên $O{O}^{\prime }\parallel (BCE)$ chứ không cắt mặt phẳng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết cho $BN=\frac{1}{3}BD$ nên $\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(\frac{1}{3};0;\frac{1}{3})$, $N(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$, $\overrightarrow{MN}\parallel (1;1;-1)$ vuông góc với pháp tuyến $(0;1;1)$ của $(CDFE)$ (phương trình $y+z=1$), và $M\notin (CDFE)$ vì $\frac{1}{3}\ne 1$, nên $MN\parallel (CDFE)$.