Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $2y^3+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3(2y^2+1)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+2y$.

Điều kiện xác định: $x\le 1$.
Phương trình đã cho biến đổi thành:
$2y^3-6y^2+7y-3=(3-2x)\sqrt{1-x}$
$\iff 2(y-1{)}^3+(y-1)=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}$
$\iff 2(y-1{)}^3+(y-1)=2(\sqrt{1-x}{)}^3+\sqrt{1-x}$.
Xét hàm số đại diện $f(t)=2t^3+t$ trên $\mathbb{R}$:
$f^{\prime }(t)=6t^2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó:
$y-1=\sqrt{1-x}\iff \{\begin{array}{l}y\ge 1\\ x=1-(y-1{)}^2\end{array}$
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=1-(y-1{)}^2+2y=1-(y^2-2y+1)+2y=-y^2+4y=4-(y-2{)}^2\le 4$.
Dấu bằng xảy ra khi $y=2$ (thỏa mãn $y\ge 1$) và $x=1-(2-1{)}^2=0$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $P_{\max }=4$.
Chọn B.