Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f(x)+x^2+3<m$ có nghiệm đúng $\forall x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi

Xét hàm số $h(x)=f(x)+x^2+3$ trên $(-1;1)$.
Bất phương trình $h(x)<m$ nghiệm đúng với mọi $x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi $m>{\max }_{(-1;1)}h(x)$.
Đạo hàm: $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+2x$.
$h^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-2x$.
Vẽ đường thẳng $y=-2x$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị $y=f^{\prime }(x)$:
Đường thẳng đi qua $(0;0)$, $(1;-2)$, $(-1;2)$.
Trên khoảng $(-1;0)$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên đường thẳng $y=-2x\Rightarrow h^{\prime }(x)>0$.
Trên khoảng $(0;1)$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới đường thẳng $y=-2x\Rightarrow h^{\prime }(x)<0$.
Bảng biến thiên cho thấy $h(x)$ đồng biến trên $(-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1)$.
Do đó ${\max }_{(-1;1)}h(x)=h(0)=f(0)+3$.
Vậy $m>f(0)+3$.
Chọn D.