Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left(\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\right)=f(m)$ có nghiệm.

Đặt $t=\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}$.
Ta có:
$t-\frac{1}{2}=\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{3}{2}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x+\frac{1}{3}\cos x\right)=\frac{3}{2}\sin (x+\alpha )$.
Suy ra: $-\frac{3}{2}\le t-\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}\iff -1\le t\le 2$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, với $t\in [-1;2]$ thì $-1\le f(t)\le 5$.
Để phương trình $f(t)=f(m)$ có nghiệm thì:
$-1\le f(m)\le 5$.
Từ đồ thị hàm số, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m\in \{-2,-1,0,1,2,3\}$.
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của $m$.
Chọn C.