Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật cạnh $AB=1,AD=2$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A$ lên các cạnh $SB,SD,DB$. Thể tích khối chóp $A.MNP$ bằng

Thể tích khối chóp $S.ABD$ là:
$V_{S.ABD}=\frac{1}{6}SA\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{3}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
- Trong $\Delta ABD$ vuông tại $A$, đường cao $AP$:
$\frac{BP}{BD}=\frac{A{B}^2}{B{D}^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow S_{\Delta ABP}=\frac{1}{5}{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{5}$.
- Trong $\Delta SAB$ vuông tại $A$, đường cao $AM$:
$\frac{BM}{BS}=\frac{B{A}^2}{B{S}^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow d(M,(ABCD))=\frac{1}{5}SA=\frac{2}{5}$.
Suy ra: $V_{M.ABP}=\frac{1}{3}d(M,(ABCD))\cdot S_{\Delta ABP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{75}$.
- Trong $\Delta SAD$ vuông cân tại $A$, đường cao $AN$:
$N$ là trung điểm $SD\Rightarrow d(N,(ABCD))=\frac{1}{2}SA=1$.
$S_{\Delta APD}=\frac{4}{5}{S}_{\Delta ABD}=\frac{4}{5}$.
Suy ra: $V_{N.APD}=\frac{1}{3}d(N,(ABCD))\cdot S_{\Delta APD}=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$.
- Tỉ số thể tích: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SB}\cdot \frac{SN}{SD}=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{5}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{15}$.
Thể tích khối chóp $A.MNP$ là:
$V_{A.MNP}=V_{S.ABD}-V_{M.ABP}-V_{N.APD}-V_{S.AMN}=\frac{2}{3}-\frac{2}{75}-\frac{4}{15}-\frac{4}{15}=\frac{8}{75}$.
Chọn A.