Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f(xf(x))-2=0$ là

Phương trình: $f(xf(x))-2=0\iff f(xf(x))=2$.
Quan sát đồ thị $y=f(x)$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là:
- $t_1=a\in (-4;-2)$;
- $t_2=0$;
- $t_3=b\in (0;2)$.
Do đó phương trình tương đương với:
$[\begin{array}{rl}xf(x)& =a\in (-4;-2)(1)\\ xf(x)& =0(2)\\ xf(x)& =b\in (0;2)(3)\end{array}$
- Xét phương trình (2): $xf(x)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ f(x)& =0\end{array}$
Đồ thị $y=f(x)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm có hoành độ $x_0<-4$ ($x_0\ne 0$). Do đó (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt: $x=0$ và $x=x_0<-4$.



- Với $x\ne 0$, ta xét hai phương trình còn lại:
+ Phương trình (3): $xf(x)=b\iff f(x)=\frac{b}{x}$ với $b\in (0;2)$.
Hàm số $g(x)=\frac{b}{x}$ có đạo hàm $g^{\prime }(x)=-\frac{b}{x^2}<0,\forall x\ne 0$, đồ thị là hypebol nằm ở góc phần tư I và III.
Vẽ đồ thị $y=g(x)$ và $y=f(x)$, ta thấy chúng cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1>0$ và $x_2<0$ (khác các nghiệm trước).
+ Phương trình (1): $xf(x)=a\iff f(x)=\frac{a}{x}$ với $a\in (-4;-2)$.
Hàm số $h(x)=\frac{a}{x}$ có $a<0$, nên $h^{\prime }(x)=-\frac{a}{x^2}>0,\forall x\ne 0$, đồ thị là hypebol nằm ở góc phần tư II và IV.
Vẽ đồ thị $y=h(x)$ và $y=f(x)$, ta thấy chúng cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_3>0$ và $x_4<0$ (khác tất cả các nghiệm trên).
Tất cả 6 nghiệm tìm được ở trên đều phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm thực phân biệt.
Chọn D.