Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên thỏa mãn f ( x ) + f ' ( x ) = x 3 + 3x 2 - 4 x + 4, $\forall$ x $\in$ và
f (1) = 5 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ' ( x ) .
131 125 35 203

Chọn f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d $\Rightarrow$ f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

Suy ra f ( x ) + f ' ( x ) = ax 3 + ( 3a + b ) x 2 + ( 2b + c ) x + d + c .

a = 1 a = 1
3a + b = 3
b = 0 f ( x ) = x - 4 x + 8
3

Từ giả thiết ta có: $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ (thỏa mãn).
2b + c = - 4 c = - 4
f ' ( x ) = 3 x 2
- 4
d + c = 4 d = 8

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) là:

x = -2
f ( x ) = f ' ( x ) $\iff$ x - 4 x + 8 = 3x - 4 $\iff$ x - 3x - 4 x + 12 = 0 $\iff$ x = 2 .
3 2 3 2

x = 3
 Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ' ( x ) bằng:
3 2 3
S = $\int$ x - 3x - 4 x + 12 dx = $\int$ ( x - 3x - 4 x + 12 )dx + $\int$ ( - x3 + 3x 2 + 4 x - 12 ) =
3 2 3 2 131
.
-2 -2 2
4