Cho hàm số $f(x)=2\sin x-x$ trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$.

Lời giải chi tiết:
Hàm số $f(x)=2\sin x-x\Rightarrow f^{\prime }(x)=2\cos x-1$. Do đó ý c) đúng.
Giải phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$. Trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, phương trình có đúng $2$ nghiệm là $x=\pm \frac{\pi }{3}$. Do đó ý a) đúng.
Lập bảng biến thiên trên $[-\pi ;\pi ]$, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x_1=\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_1=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$ và đạt cực tiểu tại $x_2=-\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_2=-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}$. Do đó ý d) sai (vì điểm cực đại là $x=\frac{\pi }{3}$).
Tọa độ hai điểm cực trị là $A\left(\frac{\pi }{3};\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)$ và $B\left(-\frac{\pi }{3};-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị:
$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}\right)}^2}\approx \sqrt{2,094^2+1,370^2}\approx 2,502\approx 2,5$. Do đó ý b) đúng.
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.