Cho hàm số $f(x)={\log }_{2021}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+x^{2021}+x^{2003}$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(2^{-x})+f(-x-3)\le 0$ là

Chọn A.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$, suy ra ${\log }_{2021}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-{\log }_{2021}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.
Do đó $f(-x)=-f(x)$, hay $f(x)$ là hàm số lẻ trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}\ln 2021}+2021x^{2020}+2003x^{2002}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bất phương trình biến đổi thành:
$f(2^{-x})\le -f(-x-3)\iff f(2^{-x})\le f(x+3)\iff 2^{-x}\le x+3$.
Xét hàm số $g(x)=x+3-2^{-x}$ trên $\mathbb{R}$:
$g^{\prime }(x)=1+2^{-x}\ln 2>0$ nên $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Nhận thấy $g(-1)=-1+3-2^1=0$.
Vậy bất phương trình $g(x)\ge 0\iff x\ge -1$, tập nghiệm là $[-1;+\infty )$.