Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $DA=DB=\frac{a\sqrt{3}}{3},CD\perp AD$. Trên cạnh $CD$ kéo dài lấy điểm $E$ sao cho $\widehat{AEB}=90^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCE$.

Chọn B.
Ta có $△ADC=△BDC$ (c-c-c) nên $\widehat{BDC}=\widehat{ADC}=90^{\circ }$.
Khi đó $△EDA=△EDB$ (c-g-c) nên $EA=EB$.
Mà $△AEB$ vuông tại $E$ nên $EA=EB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong các tam giác vuông:
$ED=\sqrt{E{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
$DC=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Suy ra $EC=ED+DC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vì $E{C}^2=\frac{3a^2}{2}=E{A}^2+A{C}^2$ nên tam giác $EAC$ vuông tại $A$. Tương tự tam giác $EBC$ vuông tại $B$.
Xét tứ diện $EABC$ có hai đỉnh $A$ và $B$ cùng nhìn cạnh $EC$ dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm của $EC$.
Bán kính mặt cầu là $R=\frac{EC}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^3=\frac{3\pi a^3\sqrt{6}}{8}$.