Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ và $\cos x\cdot f(x)+f^{\prime }(x)=e^{-\sin x}\cdot \sin x$. Tính $f(0)$.

Chọn A.
Nhân hai vế phương trình với $e^{\sin x}>0$:
$e^{\sin x}{f}^{\prime }(x)+\cos x\cdot e^{\sin x}f(x)=\sin x\iff [e^{\sin x}f(x){]}^{\prime }=\sin x$.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $e^{\sin x}f(x)=\int \sin xdx=-\cos x+C$.
Theo giả thiết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0\Rightarrow e^{\sin (\pi /2)}f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+C\Rightarrow 0=0+C\Rightarrow C=0$.
Do đó $e^{\sin x}f(x)=-\cos x\Rightarrow f(x)=-e^{-\sin x}\cos x$.
Vậy $f(0)=-e^0\cos 0=-1$.