Cho hàm số $f(x)$. Biết hàm số $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn $[-4;3]$, hàm số $g(x)=2f(x)+(1-x{)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Ta có: $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)-2(1-x)=2[f^{\prime }(x)-(1-x)]$.
$g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(x)=1-x$.
Đường thẳng $d:y=1-x$ đi qua các điểm $(-4;5)$, $(-1;2)$, $(3;-2)$.
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ tại 3 điểm có hoành độ $x=-4$, $x=-1$, $x=3$.
Xét dấu của $g^{\prime }(x)=2[f^{\prime }(x)-(1-x)]$ trên $[-4;3]$:
- Với $x\in (-4;-1)$: đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới đường thẳng $y=1-x⟹f^{\prime }(x)<1-x⟹g^{\prime }(x)<0$.
- Với $x\in (-1;3)$: đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía trên đường thẳng $y=1-x⟹f^{\prime }(x)>1-x⟹g^{\prime }(x)>0$.
Bảng biến thiên cho thấy $g(x)$ nghịch biến trên $(-4;-1)$ và đồng biến trên $(-1;3)$.
Do đó trên đoạn $[-4;3]$, hàm số $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$.