Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, tâm của đáy là $O$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm các cạnh $SA,SC$. Gọi $E$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(BMN)$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.BMEN$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$, $MN$ cắt $SO$ tại trung điểm $I$ của $SO$ (vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$).
Trong mặt phẳng $(SBD)$, nối $BI$ cắt $SD$ tại $E$. $I$ là trung điểm $SO$ và $O$ là trung điểm $BD$, do đó $I$ là trọng tâm tam giác $SBD$ và $BI$ là đường trung tuyến $⟹E$ là trung điểm của $SD$ hay $\frac{SE}{SD}=\frac{1}{3}$? (Xét tam giác $SBD$, trung tuyến $SO$ và $I$ là trung điểm $SO$, đường thẳng qua $B$ và $I$ cắt $SD$ tại $E$. Theo định lý Menelaus cho $\Delta SDO$ với cát tuyến $BIE$: $\frac{SE}{ED}\cdot \frac{DB}{BO}\cdot \frac{OI}{IS}=1⟹\frac{SE}{ED}\cdot 2\cdot 1=1⟹\frac{SE}{ED}=\frac{1}{2}⟹\frac{SE}{SD}=\frac{1}{3}$, $\frac{ED}{SD}=\frac{2}{3}$).
Thể tích khối chóp $S.ABCD$:
$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.
Tính thể tích khối chóp $O.BMEN$ ta được: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{36}$.