Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}7-4x^3& \text{khi }0\le x\le 1\\ 4-x^2& \text{khi }x>1\end{array}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)$ và các đường thẳng $x=0,x=3,y=0$.

Diện tích hình phẳng cần tính là $S={\int }_0^3|f(x)|dx$.
- Trên đoạn $[0;1]$: $f(x)=7-4x^3\ge 3>0$.
- Trên khoảng $(1;3]$: $f(x)=4-x^2$. Phương trình $4-x^2=0⟺x=2$.
+ Với $x\in [1;2]$, $4-x^2\ge 0$.
+ Với $x\in [2;3]$, $4-x^2\le 0$.
Do đó:
$S={\int }_0^1(7-4x^3)dx+{\int }_1^2(4-x^2)dx+{\int }_2^3(x^2-4)dx$.
Tính từng tích phân:
${\int }_0^1(7-4x^3)dx={(7x-x^4)|}_0^1=6$.
${\int }_1^2(4-x^2)dx={\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)|}_1^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(4-\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{3}-\frac{11}{3}=\frac{5}{3}$.
${\int }_2^3(x^2-4)dx={\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)|}_2^3=(9-12)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}$.
Vậy $S=6+\frac{5}{3}+\frac{7}{3}=6+4=10$.