Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{ khi }x>1\\ ax+1\text{ khi }x\le 1\end{array}$ (với $a$ là tham số).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ (ý b Đúng). Với $x\le 1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$ (ý d Sai vì đề nói $-a+1$). Hàm liên tục tại $x=1$ khi $a+1=2\iff a=1$ (ý a Đúng). Do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ khi $a=1$, không đúng với mọi $a$ (ý c Sai). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1106: Đ, Đ, S, S.
a) Liên tục tại $x=1$ yêu cầu ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $a+1=2\iff a=1$. Đúng.
b) Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$. Đúng.
c) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1=2$, tức $a=1$; không đúng với mọi $a\in \mathbb{R}$. Sai.
d) Với $x\le 1$, $f(x)=ax+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$, không phải $-a+1$. Sai.