Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}& \text{khi }x>3\\ \frac{13}{4}-ax& \text{khi }x\le 3\end{array}$. Khi đó ta có:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{4}$.
a) Liên tục tại $x_0=3$ yêu cầu $f(3)=\frac{13}{4}-3a=\frac{1}{4}\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1$. Đúng.
b) $f(8)=\frac{\sqrt{9}-2}{8-3}=\frac{1}{5}\ne -\frac{1}{5}$. Sai.
c) ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=\frac{1}{4}$ tối giản, $m^2+n^2=1+16=17$. Đúng.
d) Khi $a=1$: $f(3)=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x_0=3$ cần $\frac{13}{4}-3a=\frac{1}{4}\Rightarrow a=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(8)=\frac{\sqrt{9}-2}{5}=\frac{1}{5}$, không phải $-\frac{1}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng $\frac{1}{4}$, nên $m^2+n^2=1+16=17$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=\frac{13}{4}-3\cdot 1=\frac{1}{4}$.