Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$, $AC{C}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng nào sau đây song song với $(IJK)$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C^{\prime }(0;1;1)$.

Trọng tâm:
- $I$ của $ABC$: $I=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0\right)$.
- $J$ của $AC{C}^{\prime }$: $J=\left(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$.
- $K$ của $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $K=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$.

Vectơ trong mặt phẳng $(IJK)$: $\overrightarrow{IJ}=\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$, $\overrightarrow{IK}=\left(0;0;\frac{2}{3}\right)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=[\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IK}]=\left(\frac{2}{9};\frac{2}{9};0\right)\parallel (1;1;0)$.

Xét $(B{B}^{\prime }C)$: qua $B(1;0;0)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C(0;1;0)$, có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;1)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;1;0)$, pháp tuyến $(1;1;0)$, phương trình $x+y=1$.

Mặt khác $I,J,K$ đều có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$, nên $(IJK)$ song song với $(B{B}^{\prime }C)$.

Các phương án khác: $(A{A}^{\prime }B)$ là $y=0$, $(C{C}^{\prime }A)$ là $x=0$, $(B{C}^{\prime }A)$ có pháp tuyến $(0;1;1)$ — đều không song song với $(IJK)$ (pháp tuyến $(1;1;0)$).

Vậy đáp án là B.