Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;2]$ thỏa mãn ${\int }_1^2(x-1{)}^{2}f(x)dx=-\frac{1}{31},f(2)=0$ và ${\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=7$. Tính tích phân $I={\int }_1^{2}f(x)dx$.

Tích phân từng phần: đặt $u=f(x)⟹du=f^{\prime }(x)dx$, $dv=(x-1{)}^{2}dx⟹v=\frac{(x-1{)}^3}{3}$.
Ta có ${\int }_1^2(x-1{)}^{2}f(x)dx={\frac{(x-1{)}^3}{3}f(x)|}_1^2-\frac{1}{3}{\int }_1^2(x-1{)}^3{f}^{\prime }(x)dx=-\frac{1}{3}{\int }_1^2(x-1{)}^3{f}^{\prime }(x)dx$.
Từ giả thiết suy ra ${\int }_1^2(x-1{)}^3{f}^{\prime }(x)dx=\frac{3}{31}$. Kết hợp với giả thiết ${\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=7$ và áp dụng phương pháp hàm số/bất đẳng thức tích phân, ta xác định được hàm $f(x)$ và tính được $I={\int }_1^{2}f(x)dx=-\frac{7}{5}$. Chọn B.