Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f(e^x)<e^x+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in (0;1)$ khi và chỉ khi

Đặt $t=e^x$. Với $x\in (0;1)\Rightarrow t\in (1;e)$. Bất phương trình trở thành $f(t)-t<m$ đúng với mọi $t\in (1;e)$.
Xét $g(t)=f(t)-t$, $g^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-1$. Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, với $t\in (1;e)$ ta có $f^{\prime }(t)<1\Rightarrow g^{\prime }(t)<0$, do đó hàm số $g(t)$ nghịch biến trên $[1;e]$.
Để $g(t)<m,\forall t\in (1;e)$ thì $m\ge {\max }_{[1;e]}g(t)=g(1)=f(1)-1$. Chọn C.