Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $(1+{\ln }^{2}x)\cdot 2019f(\ln x)+2020\ln x\cdot f({\ln }^{2}x)=2021\ln x$, $\forall x\in (0;e]$. Biết ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{a}{b}(\sqrt{2}-1)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản và $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Khi đó $a+b$ bằng:

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Từ giả thiết chia hai vế cho $x(1+{\ln }^{2}x)$ và lấy tích phân từ 1 đến $e$:
$$2019{\int }_1^e\frac{f(\ln x)}{x}dx+1010{\int }_1^e\frac{2\ln xf({\ln }^{2}x)}{x(1+{\ln }^{2}x)}dx={\int }_1^e\frac{2021\ln x}{x(1+{\ln }^{2}x)}dx.$$
Đặt ẩn phụ $t=\ln x$ và $u={\ln }^{2}x$, ta thiết lập được:
$$3029{\int }_0^{1}f(t)dt=2021(\sqrt{2}-1)⟹{\int }_0^{1}f(t)dt=\frac{2021}{3029}(\sqrt{2}-1).$$
Do đó $a=2021,b=3029$ (phân số tối giản).
Vậy $a+b=2021+3029=5050$.