Cho hàm số $f(x)=(m-2)x^3-2(2m-3)x^2+(5m-3)x-2m-2$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=|f(x)|$ có 5 điểm cực trị?

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số bậc ba $f(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Nhận thấy $x=2$ là một nghiệm của $f(x)=0$ với mọi $m$ (vì $f(2)=8(m-2)-8(2m-3)+2(5m-3)-2m-2=0$).
Phân tích thành nhân tử:
$f(x)=(x-2)[(m-2)x^2-2(m-1)x+m+1]$.
Đặt $g(x)=(m-2)x^2-2(m-1)x+m+1$.
Để $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $g(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2:
$\{\begin{array}{l}m-2\ne 0\\ {\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m-2)(m+1)>0\\ g(2)\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ -m+3>0\\ m-3\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<3\\ m\ne 2\end{array}$.
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{Z}}^{+}$) nên ta có $m=1$.
Với $m=1$, $f(x)=-x^3+2x^2+2x-4$ có $f^{\prime }(x)=-3x^2+4x+2$ có ${\Delta }^{\prime }=10>0$, hàm số có 2 cực trị và $y_{CĐ}\cdot y_{CT}<0$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên dương $m=1$ thỏa mãn. Chọn C.