Cho hàm số $f(x)=(x-1{)}^2(m{x}^2+4mx-m+n-2)$ với $m,n\in \mathbb{R}$. Biết trên khoảng $\left(-\frac{7}{6};0\right)$ hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Trên đoạn $\left[-\frac{7}{2};-\frac{5}{4}\right]$ hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Tính đạo hàm $f^{\prime }(x)=2(x-1)(m{x}^2+4mx-m+n-2)+(x-1{)}^2(2mx+4m)=(x-1)[2(m{x}^2+4mx-m+n-2)+(x-1)(2mx+4m)]=(x-1)(4m{x}^2+10mx-6m+2n-4)$.
Vì hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ nên $f^{\prime }(-1)=0⟺(-2)(4m-10m-6m+2n-4)=0⟺-12m+2n-4=0⟺n=6m+2$.
Phương trình đạo hàm trong ngoặc trở thành: $4m{x}^2+10mx+6m=0⟺2m(2x^2+5x+3)=0⟺2m(x+1)(2x+3)=0$.
Nghiệm còn lại là $x=-\frac{3}{2}\in \left[-\frac{7}{2};-\frac{5}{4}\right]$. Qua điểm $x=-\frac{3}{2}$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\frac{3}{2}$. Chọn B.