Cho hàm số $f(x)=(x-1)(x-2)\dots (x-2022)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-2022;2022]$ để phương trình $f^{\prime }(x)=(m+1)f(x)$ có 2022 nghiệm phân biệt.

Xét $x\ne 1,2,\dots ,2022$, phương trình tương đương $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=m+1\iff {\sum }_{i=1}^{2022}\frac{1}{x-i}=m+1$. Hàm số $g(x)={\sum }_{i=1}^{2022}\frac{1}{x-i}$ có đạo hàm $g^{\prime }(x)=-{\sum }_{i=1}^{2022}\frac{1}{(x-i{)}^2}<0,\forall x\ne i$. Trên mỗi khoảng $(i;i+1)$ ($1\le i\le 2021$), $g(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-\infty$, nên phương trình $g(x)=m+1$ luôn có đúng 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng $(i;i+1)$ (tổng cộng 2021 nghiệm). Để có đúng 2022 nghiệm phân biệt thì phương trình phải có thêm 1 nghiệm thuộc $(-\infty ;1)\cup (2022;+\infty )$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $m+1\ne 0\iff m\ne -1$. Số giá trị nguyên $m\in [-2022;2022]\setminus \{-1\}$ là $4045-1=4044$. Chọn D.