Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ (với $x\ne 0$).
a) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề SAI.
b) Với $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên SAI (nguyên hàm đúng phải có hệ số $\frac{x^2}{2}$ và thêm $-x$ từ $x-1$).
Cụ thể: $\int f(x)dx=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$.
c) Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
d) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln x+C$ (trên $(0;+\infty )$) và $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Suy ra $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên SAI.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai — khớp với đáp án đề 102 (S S S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$; nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, nên $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$.