Cho hàm số $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+x^3+x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(m{e}^{-x})+f(3-x)=0$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì $f(-x)=-f(x)$ và $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+3x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Phương trình $f(m{e}^{-x})+f(3-x)=0\iff f(m{e}^{-x})=f(x-3)\iff m{e}^{-x}=x-3\iff m=(x-3)e^x$. Xét $g(x)=(x-3)e^x$, có $g^{\prime }(x)=(x-2)e^x=0\iff x=2$, $g(2)=-e^2\approx -7,389$ và ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=0$. Để phương trình có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt thì $-e^2<m<0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\}$, có $7$ giá trị nguyên. Chọn A.