Cho hàm số $f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

Xét phương trình $\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\frac{3}{a}.{\left(\frac{x}{2}\right)}^b$ trên khoảng $(-2;2)$, với $(a;b)$ là hai số nguyên dương đều bé hơn 20.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\frac{\mathrm{asinh}x}{\ln 10}$ là hàm lẻ, xác định trên toàn trục $\mathbb{R}$ (vì $x+\sqrt{x^2+1}>0$ với mọi $x$), và $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\ln 10\cdot \sqrt{x^2+1}}>0$ nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, đặc biệt trên $(-2;2)$ → d) Đúng. Trên $(0;+\infty )$: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-x}{\ln 10(x^2+1{)}^{3/2}}<0$ nên $f$ lõm xuống.

a) $f(x^3+1)+f(3x-m)=0\iff f(x^3+1)=f(m-3x)$. Vì $f$ đồng biến (đơn ánh): $x^3+1=m-3x\iff x^3+3x+1-m=0$. Hàm $g(x)=x^3+3x+1-m$ có $g^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ nên luôn có đúng 1 nghiệm với mọi $m$. Vậy có 0 giá trị của $m$ (không phải 7) → Sai.

b) $f$ đồng biến nên $f(x^2-3x+m)$ đồng biến theo $x^2-3x+m$; tam thức $x^2-3x+m$ có điểm nhỏ nhất tại $x=\frac{3}{2}$ với mọi $m$, do đó hàm số giảm trên $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ và tăng trên $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, có đúng 1 điểm cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}$ với mọi $m$ → Đúng.

c) Xét $\phi (x)=f(x)-\frac{3}{a}{\left(\frac{x}{2}\right)}^b$ trên $(0;2)$, với $\phi (0)=0$.
• Nếu $b$ chẵn: với $x<0$ thì vế phải $>0$ còn $f(x)<0$ nên không có nghiệm âm; $x=0$ là nghiệm; trên $(0;2)$, ${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-\frac{3a?}{...}<0$ (cụ thể ${\phi }^{\prime \prime }(x)=\frac{-x}{\ln 10(x^2+1{)}^{3/2}}-\frac{3b(b-1)}{a{2}^b}{x}^{b-2}<0$) nên $\phi$ lõm xuống và có nhiều nhất 1 nghiệm dương → tổng nhiều nhất 2 nghiệm, không đạt 3 nghiệm.
• Nếu $b$ lẻ: hai vế đều là hàm lẻ nên tập nghiệm đối xứng qua gốc, chứa $x=0$; cần đúng 1 nghiệm dương $x_0\in (0;2)$ (khi đó $-x_0$ cũng là nghiệm, tổng 3 nghiệm). Vì $\phi$ lõm xuống trên $(0;2)$, ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{1}{\ln 10}-\frac{3}{2a}>0$ với mọi $a\ge 1$ (khi $b=1$) và ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{1}{\ln 10}>0$ khi $b\ge 2$, nên điều kiện và đủ để có đúng 1 nghiệm dương là $\phi (2)<0\iff \frac{3}{a}>\log (2+\sqrt{5})\approx 0,6269\iff a\le 4$. Vậy $a\in \{1;2;3;4\}$ và $b\in \{1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\}$ (10 giá trị lẻ), cho $4\times 10=40$ cặp $(a;b)$ thỏa mãn, không phải 18 → Sai.

d) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\ln 10\cdot \sqrt{x^2+1}}>0$ với mọi $x$, nên $f$ đồng biến trên $(-2;2)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $x^3+3x+1-m=0$ với hàm số đồng biến ngặt nên luôn có đúng 1 nghiệm với mọi $m$; do đó có 0 (không phải 7) giá trị của $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $x^2-3x+m$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3/2$ với mọi $m$, nên hàm hợp có đúng 1 điểm cực tiểu tại $x=3/2$ với mọi $m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ khi $b$ lẻ phương trình mới có thể có 3 nghiệm đối xứng $\{-x_0;0;x_0\}$. Điều kiện là $\phi (2)=\log (2+\sqrt{5})-\frac{3}{a}<0\iff a\le 4$, kết hợp $b$ lẻ $\in \{1;3;\dots ;19\}$ cho $4\times 10=40$ cặp $(a;b)$, không phải 18.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\ln 10\sqrt{x^2+1}}>0$ trên $(-2;2)$ nên hàm số đồng biến.