Cho hàm số $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}$ có đồ thị $(C)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Sai: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. b) Đúng: $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\frac{3}{x+3}$, $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x+3{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff 2x^2+12x+15=0$ có hai nghiệm phân biệt, tổng hoành độ cực trị bằng $\frac{-12}{2}=-6$. c) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=-\infty$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang. d) Đúng: Đồ thị có tiệm cận xiên $y=2x-1\iff 2x-y-1=0(\Delta )$; $d(M,\Delta )=\frac{|2.2-1-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Lưu ý: trang lời giải chi tiết (trang 12-13) in lại ý d) với giá trị $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ và gán nhãn 'Sai', mâu thuẫn với bảng đáp án chính thức (trang 11: Câu 2 mã 1701: d)Đ) và với đề bài (trang 4: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$). Vì khoảng cách thực tế là $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, theo phát biểu trong đề thì d) Đúng, phù hợp bảng đáp án.
a) a) Sai: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.
b) b) Đúng: Ta có $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\frac{3}{x+3}$. $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x+3{)}^2}$. $$y^{\prime }=0\iff 2-\frac{3}{(x+3{)}^2}=0\iff \frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}=0\iff 2x^2+12x+15=0$$ có hai nghiệm phân biệt. Vậy hàm số có hai cực trị có tổng hoành độ của cực trị bằng $\frac{-12}{2}=-6$.
c) c) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=-\infty$, nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d) d) Đúng: Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(2x-1)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(2x-1)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x+3}=0$. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=2x-1\iff 2x-y-1=0(\Delta )$. Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến $\Delta$ là $d(M,\Delta )=\frac{|2.2-1-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. (Lời giải chi tiết nguồn ở trang 12-13 in lại ý d) với $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ và nhãn 'Sai', mâu thuẫn với bảng đáp án trang 11 ghi d)Đ và với đề bài trang 4 ghi $\frac{2\sqrt{5}}{5}$; phát biểu trong đề được giữ nguyên và verdict Đúng khớp bảng đáp án.)