Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt bên $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy, $S.O=a\sqrt{2}$. Thể tích chóp: $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$. Tam giác $SCD$ cân: $SC=SD=\sqrt{\frac{a^2}{2}+2a^2}=a\sqrt{\frac{5}{2}}$, đường cao từ $S$ xuống $CD$ bằng $\sqrt{\frac{5a^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{3a}{2}$, nên $S_{SCD}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3a^2}{4}$. Vì $V_{A.SCD}=V_{S.ACD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$, khoảng cách $d(A,(SCD))=\frac{3V_{A.SCD}}{S_{SCD}}=\frac{3\cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{6}}{\frac{3a^2}{4}}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$. Kết quả khớp đáp án A của đề (mã 1701, câu 9: A).