Cho hàm số $y=-2x^3+3x^2-1$ có đồ thị như hình vẽ. Bằng cách sử dụng đồ thị hàm số, xác định $m$ để phương trình $2x^3-3x^2+2m=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm lớn hơn $\frac{1}{2}$.


Ta biến đổi phương trình về hàm số đã cho:
$2x^3-3x^2+2m=0⟺-2x^3+3x^2-1=2m-1$
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $(C):y=-2x^3+3x^2-1$ và đường thẳng nằm ngang $d:y=2m-1$.
- Ta tính giá trị của hàm số tại $x=\frac{1}{2}$:
$y\left(\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{8}\right)+3\left(\frac{1}{4}\right)-1=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{2}$
- Đồ thị $(C)$ có điểm cực tiểu là $(0;-1)$ và điểm cực đại là $(1;0)$.
- Với $x>\frac{1}{2}$:
+ Khi $x$ tăng từ $\frac{1}{2}$ đến $1$, $y$ tăng từ $-\frac{1}{2}$ lên $0$.
+ Khi $x$ tăng từ $1$ đến $+\infty$, $y$ giảm từ $0$ xuống $-\infty$.
Do đó, đường thẳng $y=2m-1$ cắt nhánh đồ thị ứng với $x>\frac{1}{2}$ tại đúng 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
$-\frac{1}{2}<2m-1<0⟺\frac{1}{2}<2m<1⟺\frac{1}{4}<m<\frac{1}{2}$
Khi đó, giao điểm thứ ba nằm trên nhánh $x<0$, hiển nhiên nghiệm này nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớn hơn $\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m\in \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$. Chọn D.