Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $\left(-\frac{1}{2};-1\right)$ và cực tiểu tại $(0;-2)$. Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, ta có $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)=f^{\prime }(0)=0$ nên $c=0$ và $\frac{3a}{4}-b=0\Rightarrow b=\frac{3a}{4}$. Ngoài ra $f(0)=d=-2$ và $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a}{8}+\frac{b}{4}-2=-1\Rightarrow -\frac{a}{8}+\frac{3a}{16}=1\Rightarrow a=16$, $b=12$. Vậy $f(x)=16x^3+12x^2-2$, $f^{\prime }(x)=48x^2+24x=24x(2x+1)$.

a) $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Trên khoảng $(-2;-1)$ (nằm trong miền $x<-\frac{1}{2}$) ta có $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến. Đúng.

b) Trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, $f(0)=-2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=2+3-2=3$. Vậy $\max f=3$, $\min f=-2$, tổng bằng $1\ne -2$. Sai.

c) Tại $x=0$ (điểm cực tiểu) $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương; đổi dấu từ dương sang âm xảy ra tại $x=-\frac{1}{2}$ (điểm cực đại). Sai.

d) $3a+2b+c-d=48+24+0+2=74\ne 25$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=16x^3+12x^2-2$ ta có $f^{\prime }(x)=24x(2x+1)>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Trên $(-2;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, $f(0)=-2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=3$. Vậy $\max f=3$, $\min f=-2$, tổng bằng $1\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$ (điểm cực tiểu) $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương; đổi dấu từ dương sang âm xảy ra tại $x=-\frac{1}{2}$ (điểm cực đại).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=16,b=12,c=0,d=-2$ ta có $3a+2b+c-d=48+24+2=74\ne 25$.