Cho hàm số $y=f(x)=\ln (\sqrt{1+x^2}+x)$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(a-1)+f(\ln a)\le 0$ là

Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1}{\sqrt{1+x^2}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$, do đó hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác, $f(-x)=\ln (\sqrt{1+x^2}-x)=\ln \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}\right)=-\ln (\sqrt{1+x^2}+x)=-f(x)$, nên $f(x)$ là hàm số lẻ.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$f(\ln a)\le -f(a-1)\iff f(\ln a)\le f(1-a)\iff \ln a\le 1-a\iff \ln a+a\le 1$.
Điều kiện xác định: $a>0$.
Xét hàm số $g(a)=\ln a+a$ trên $(0;+\infty )$, có $g^{\prime }(a)=\frac{1}{a}+1>0$ nên $g(a)$ đồng biến. Nhận thấy $g(1)=1$, do đó $g(a)\le 1\iff 0<a\le 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(0;1]$.