Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2& \text{khi }0\le x\le 1\\ 4-x& \text{khi }1\le x\le 3\end{array}$. Tính tích phân ${\int }_0^{1}f(e^x)e^{x}dx+{\int }_1^e\frac{f(\ln x)}{x}dx$.

Chọn C.
Đặt $u=e^x$ trong tích phân thứ nhất: $du=e^{x}dx$, cận từ $1$ đến $e$.
${\int }_0^{1}f(e^x)e^{x}dx={\int }_1^{e}f(u)du={\int }_1^e(4-u)du=\left(4u-\frac{u^2}{2}\right){|}_1^e=\left(4e-\frac{e^2}{2}\right)-\frac{7}{2}$.
Đặt $t=\ln x$ trong tích phân thứ hai: $dt=\frac{dx}{x}$, cận từ $0$ đến $1$.
${\int }_1^e\frac{f(\ln x)}{x}dx={\int }_0^{1}f(t)dt={\int }_0^{1}3t^{2}dt=t^3{|}_0^1=1$.
Tổng hai tích phân là: $\left(4e-\frac{e^2}{2}-\frac{7}{2}\right)+1=4e-\frac{e^2}{2}-\frac{5}{2}$.