Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên thuộc $[-1;10]$ để bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}[{\log }_2(3^x+1)]\ge {\log }_{0.25}m$ có nghiệm với mọi $x\in (-\infty ;0)$?

Chọn B.
Điều kiện của tham số: $m>0$.
Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(3^x+1)\le m$.
Xét hàm số $f(x)={\log }_2(3^x+1)$ với $x\in (-\infty ;0)$.
$f^{\prime }(x)=\frac{3^x\ln 3}{(3^x+1)\ln 2}>0,\forall x\in (-\infty ;0)$, hàm số đồng biến.
Khi $x\to -\infty ,f(x)\to {\log }_{2}1=0$.
Khi $x\to 0,f(x)\to {\log }_{2}2=1$.
Để bất phương trình có nghiệm với mọi $x\in (-\infty ;0)$ thì $m\ge 1$.
Kết hợp $m\in [-1;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{1;2;\dots ;10\}$.
Vậy có $10$ giá trị nguyên của $m$.