Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x^2-2x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(x^3-3x^2+m)$ có 8 điểm cực trị là

Ta có $f^{\prime }(x)=0⟺(x-1{)}^{2}x(x-2)=0$. Nghiệm bội chẵn là $x=1$ (không làm đổi dấu đạo hàm), các nghiệm đơn làm đổi dấu đạo hàm là $x=0$ và $x=2$. Đạo hàm: $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x)f^{\prime }(x^3-3x^2+m)=3x(x-2)f^{\prime }(u)$. Phương trình $3x(x-2)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt $x=0$ và $x=2$. Để $g(x)$ có 8 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(u)=0$ phải đổi dấu tại 6 điểm phân biệt khác $0$ và $2$. Điều này tương đương với mỗi phương trình $u=0$ và $u=2$ đều có 3 nghiệm phân biệt khác $0$ và $2$. Tức là mỗi phương trình $x^3-3x^2=-m$ và $x^3-3x^2=2-m$ có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số $h(x)=x^3-3x^2$ có cực đại $h(0)=0$ và cực tiểu $h(2)=-4$. Để cả hai phương trình đều có 3 nghiệm phân biệt thì: $\{\begin{array}{l}-4<-m<0\\ -4<2-m<0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}0<m<4\\ 2<m<6\end{array}⟺2<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=3$. Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của tham số $m$.