Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+m-1009$ có đúng một tiếp tuyến song song với trục $Ox$. Tổng các giá trị của $S$ bằng

Tiếp tuyến song song với trục $Ox$ nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $0$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=0⟺[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$. Với $x=0⟹y=m-1009$, phương trình tiếp tuyến là $d_1:y=m-1009$. Với $x=\pm 1⟹y=m-1010$, phương trình tiếp tuyến là $d_2:y=m-1010$. Hai tiếp tuyến này phân biệt. Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục $Ox$ thì phải có đúng một tiếp tuyến trùng với trục $Ox$ ($y=0$), tức là: $[\begin{array}{l}m-1009=0\\ m-1010=0\end{array}⟺[\begin{array}{l}m=1009\\ m=1010\end{array}$. Suy ra $S=\{1009;1010\}$. Tổng các giá trị của $S$ bằng $1009+1010=2019$.