Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime }(x)=m^2{x}^4-m(m+2)x^3+2(m+1)x^2-(m+2)x+m$. Số các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có:
$f^{\prime }(x)=m^2{x}^4-m(m+2)x^3+2(m+1)x^2-(m+2)x+m$
$=(x-1)(m^2{x}^3-2mx+2x-m)$.
Đặt $g(x)=m^2{x}^3-2mx+2x-m$.
Để $(x-1)g(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ thì $x=1$ phải là nghiệm bội lẻ của $g(x)$, tức là $g(1)=0$:
$g(1)=m^2-2m+2-m=m^2-3m+2=0\iff [\begin{array}{rl}m& =1\\ m& =2\end{array}$
- Thử lại với $m=1$:
$f^{\prime }(x)=(x-1)(x^3-1)=(x-1{)}^2(x^2+x+1)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (đúng vì $x^2+x+1>0$).
- Thử lại với $m=2$:
$f^{\prime }(x)=(x-1)(4x^3-2x-2)=2(x-1{)}^2(2x^2+2x+1)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (đúng vì $2x^2+2x+1>0$).
Vậy có 2 giá trị nguyên dương của $m$ là $m=1$ và $m=2$.

*Lưu ý:* Bảng đáp án ban đầu ghi nhầm 32-A, nhưng lời giải chi tiết giải ra đúng 2 giá trị nguyên dương $m\in \{1;2\}$, tương ứng phương án D.
Chọn D.