Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau



Bất phương trình $2f(x)<e^{\cos x}+m$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi

Bất phương trình tương đương: $m>2f(x)-e^{\cos x}$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Xét hàm số $g(x)=2f(x)-e^{\cos x}$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+\sin x\cdot e^{\cos x}$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $f^{\prime }(x)\ge 1>0$. Lại có $\sin x>0$ và $e^{\cos x}>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, suy ra $g^{\prime }(x)>0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Bất phương trình $m>g(x)$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\iff m\ge {\lim }_{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}g(x)=2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-e^{\cos \frac{\pi }{2}}=2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 13), chọn B.