Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời thỏa mãn điều kiện $f(0)>0$ và $[f(x)+6x]f(x)=9x^4+3x^2+4,\forall x\in \mathbb{R}$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(2x^2-3x+1)$ trên đoạn $[0;1]$.

Ta có $[f(x)+6x]f(x)=9x^4+3x^2+4\iff f^2(x)+6xf(x)+9x^2=9x^4+12x^2+4\iff [f(x)+3x{]}^2=(3x^2+2{)}^2$. Do $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(0)>0$ nên $f(x)+3x=3x^2+2\Rightarrow f(x)=3x^2-3x+2$. Xét hàm số $y=f(2x^2-3x+1)$ trên $[0;1]$. Đặt $t=2x^2-3x+1$, với $x\in [0;1]$ thì hàm số $t(x)$ có đỉnh tại $x=\frac{3}{4}$, $t\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}$, $t(0)=1,t(1)=0$. Suy ra $t\in \left[-\frac{1}{8};1\right]$. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t)=3t^2-3t+2$ trên $\left[-\frac{1}{8};1\right]$. Đạo hàm $g^{\prime }(t)=6t-3=0\iff t=\frac{1}{2}\in \left[-\frac{1}{8};1\right]$. Ta có $g\left(-\frac{1}{8}\right)=3{\left(-\frac{1}{8}\right)}^2-3\left(-\frac{1}{8}\right)+2=\frac{155}{64}$; $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}$; $g(1)=2$. Vậy ${\max }_{[0;1]}y=\frac{155}{64}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 14), chọn C.