Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc 3, có đồ thị như hình sau:

Phương trình $f^2(\sin x+\cos x)+1=2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)f(\sin x+\cos x)-\sin 2x$ có mấy nghiệm thực thuộc đoạn $\left[-\frac{5\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]$?

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Vì $|\sin |\le 1$ nên $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Ta có:
$$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x⟹\sin 2x=t^2-1.$$
Và $2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2t$.
Thay vào phương trình ban đầu:
$$f^2(t)+1=2tf(t)-(t^2-1)⟺f^2(t)-2tf(t)+t^2=0⟺(f(t)-t{)}^2=0⟺f(t)=t.$$
Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f(t)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ với điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, ta xác định được hàm số $f(t)=t^3-3t$.
Phương trình $f(t)=t$ trở thành:
$$t^3-3t=t⟺t^3-4t=0⟺t(t^2-4)=0⟺[\begin{array}{l}t=0\\ t=\pm 2\end{array}$$
Vì $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, các giá trị $t=\pm 2$ bị loại.
Chỉ có nghiệm $t=0$ thỏa mãn.
Với $t=0⟺\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0⟺x+\frac{\pi }{4}=k\pi ⟺x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Để nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{5\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]$:
$$-\frac{5\pi }{4}\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le \frac{5\pi }{4}⟺-1\le k\le \frac{3}{2}.$$
Do $k\in \mathbb{Z}⟹k\in \{-1,0,1\}$.
Có đúng 3 giá trị của $k$, tương ứng với 3 nghiệm thực phân biệt:
$$x=-\frac{5\pi }{4},x=-\frac{\pi }{4},x=\frac{3\pi }{4}.$$
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực thuộc đoạn đã cho.