Cho khối chóp $S.ABC$. Có $AB=2$, $AC=3$ và $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$ và $SC$. Góc giữa mặt phẳng $(ABC)$ và mặt phẳng $(AMN)$ bằng $60^{\circ }$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích tam giác đáy $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$
Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 120^{\circ }=4+9-2(2)(3)\left(-\frac{1}{2}\right)=13+6=19⟹BC=\sqrt{19}.$$
Đặt $SA=h>0$.
Trong các tam giác vuông $SAB$ và $SAC$ với $AM\perp SB,AN\perp SC$:
$$SM\cdot SB=S{A}^2=h^2⟹\frac{SM}{SB}=\frac{h^2}{S{B}^2}=\frac{h^2}{h^2+4}.$$
$$SN\cdot SC=S{A}^2=h^2⟹\frac{SN}{SC}=\frac{h^2}{S{C}^2}=\frac{h^2}{h^2+9}.$$
Gọi $K=MN\cap BC$. Khi đó $AK$ là giao tuyến của $(AMN)$ và $(ABC)$.
Theo định lý Menelaus cho tam giác $SBC$ cắt bởi đường thẳng qua $M,N,K$:
$$\frac{KB}{KC}\cdot \frac{NC}{NS}\cdot \frac{MS}{MB}=1.$$
Kết hợp với góc giữa $(AMN)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$, giải tìm được chiều cao $h=\frac{2\sqrt{19}}{3}$.
Khi đó thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{19}}{3}=\frac{\sqrt{57}}{3}.$$