Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;2]$, thỏa mãn các điều kiện $f(2)=1$ và ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{2}{3}$. Giá trị của ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x^2}dx$ bằng

Áp dụng công thức tích phân từng phần:
${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx={\left[xf(x)\right]}_0^2-{\int }_0^{2}f(x)dx=2f(2)-\frac{2}{3}=2(1)-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$
Xét bình phương tích phân:
${\int }_0^2{\left[f^{\prime }(x)-kx\right]}^{2}dx={\int }_0^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx-2k{\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx+k^2{\int }_0^2{x}^{2}dx$
Thay các giá trị vào:
$=\frac{2}{3}-2k\left(\frac{4}{3}\right)+k^2{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{2}{3}-\frac{8}{3}k+\frac{8}{3}{k}^2=\frac{2}{3}(4k^2-4k+1)=\frac{2}{3}(2k-1{)}^2$
Chọn $k=\frac{1}{2}$, ta có:
${\int }_0^2{\left[f^{\prime }(x)-\frac{1}{2}x\right]}^{2}dx=0$
Vì ${\left[f^{\prime }(x)-\frac{1}{2}x\right]}^2\ge 0,\forall x\in [0;2]$ nên ta suy ra:
$f^{\prime }(x)-\frac{1}{2}x=0⟺f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}x⟹f(x)=\frac{1}{4}{x}^2+C$
Vì $f(2)=1⟹\frac{1}{4}(2^2)+C=1⟹C=0$.
Do đó $f(x)=\frac{1}{4}{x}^2$.
Khi đó:
${\int }_1^2\frac{f(x)}{x^2}dx={\int }_1^2\frac{\frac{1}{4}{x}^2}{x^2}dx={\int }_1^2\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}(2-1)=\frac{1}{4}$
Chọn C.