Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất $0,5\%/\text{thaˊng}$ (lãi tính theo từng tháng và cộng dồn vào gốc). Kể từ lúc gửi sau mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đó rút 10 triệu đồng để chi tiêu (nếu tháng cuối cùng không đủ 10 triệu đồng thì rút hết). Hỏi trong bao lâu kể từ ngày gửi người đó rút hết tiền trong tài khoản? (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình người đó gửi).

Gọi số tiền gửi ban đầu là $A=10^9$ đồng (1 tỷ đồng), lãi suất mỗi tháng là $r=0,5\%=0,005$, số tiền rút ra mỗi tháng là $X=10^7$ đồng (10 triệu đồng).
Sau tháng thứ 1, số tiền còn lại là: $T_1=A(1+r)-X$.
Sau tháng thứ 2, số tiền còn lại là: $T_2=T_1(1+r)-X=A(1+r{)}^2-X(1+r)-X$.
Bằng quy nạp, sau $n$ tháng số tiền còn lại trong tài khoản là:
$T_n=A(1+r{)}^n-X\frac{(1+r{)}^n-1}{r}$
Người đó rút hết tiền trong tài khoản khi $T_n\le 0$:
$A(1+r{)}^n-X\frac{(1+r{)}^n-1}{r}\le 0⟺\left(\frac{X}{r}-A\right)(1+r{)}^n\ge \frac{X}{r}$
Ta có $\frac{X}{r}=\frac{10^7}{0,005}=2\cdot 10^9$ đồng $=2A$.
Bất phương trình trở thành:
$(2A-A)(1+r{)}^n\ge 2A⟺(1+r{)}^n\ge 2⟺(1,005{)}^n\ge 2$
$⟺n\ge {\log }_{1,005}2=\frac{\ln 2}{\ln 1,005}\approx 138,975$
Do đó sau 138 tháng, tài khoản vẫn còn tiền ($T_{138}>0$), và đến tháng thứ 139 người đó rút toàn bộ số tiền còn lại thì tài khoản hết tiền.
Vậy người đó rút hết tiền trong tài khoản sau 139 tháng. Chọn D.