Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, có đồ thị như hình vẽ:


Với $m$ là tham số bất kì thuộc $[0;1]$. Phương trình $f(x^3-3x^2)=3\sqrt{m}+4\sqrt{1-m}$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Xét $g(m)=3\sqrt{m}+4\sqrt{1-m}$ trên $[0;1]$.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$g(m)\le \sqrt{(3^2+4^2)(m+1-m)}=5$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(m)$ trên $[0;1]$ là $\min (g(0),g(1))=\min (4,3)=3$.
Do đó $3\le g(m)\le 5$.
Xét hàm số $u(x)=x^3-3x^2$ có $u^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
Cực đại tại $x=0,u(0)=0$; cực tiểu tại $x=2,u(2)=-4$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, với $k\in [3;5]$, đường thẳng $y=k$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại các giá trị tương ứng, dẫn tới phương trình $f(u(x))=g(m)$ có đúng $5$ nghiệm thực phân biệt.
Chọn đáp án C.