Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-2x-4}{x+1}$.

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
- Ý a) Đúng: Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x-4)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x+2}{(x+1{)}^2}$.
- Ý b) Sai: Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1{)}^2+1}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên hợp hai khoảng $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
- Ý c) Đúng: Ta có $f(x)=x-3-\frac{1}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\lim [f(x)-(x-3)]=\lim \left(-\frac{1}{x+1}\right)=0$. Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y=x-3$.
- Ý d) Sai: Giao điểm của đường tiệm cận đứng $x=-1$ và đường tiệm cận xiên $y=x-3$ là $I(-1;-4)$, nên tâm đối xứng của đồ thị là $I(-1;-4)\ne (1;-2)$.