Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân tại một nhà máy trong thời gian $6$ giờ. Công nhân $A$ đang sản xuất với hiệu suất $Q_1^{\prime }(t)=-2t^2+4t+58$ sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân $B$ đang sản xuất với hiệu suất $Q_2^{\prime }(t)=53+at$ sản phẩm mỗi giờ ($a\in \mathbb{R}$). Biết rằng hàm $Q_1(t)$ và $Q_2(t)$ mô phỏng số lượng sản phẩm làm được của công nhân $A$ và công nhân $B$ sau $t$ giờ.

Từ đồ thị, đường cong parabol biểu diễn $Q_1^{\prime }(t)$ và đường thẳng biểu diễn $Q_2^{\prime }(t)$ cắt nhau tại điểm có hoành độ $t=5$.
Khi $t=5$, ta có $Q_1^{\prime }(5)=-2\cdot 5^2+4\cdot 5+58=28$.
Vì hai đồ thị cắt nhau tại $t=5$ nên $Q_2^{\prime }(5)=Q_1^{\prime }(5)=28\Rightarrow 53+5a=28\iff a=-5$. Do đó $Q_2^{\prime }(t)=53-5t$.
- Ý a) Đúng: Ta có $Q_1^{\prime }(t)=-2t^2+4t+58=-2(t-1{)}^2+60\le 60$. Vậy hiệu suất cực đại của công nhân $A$ là $60$ sản phẩm mỗi giờ (đạt tại $t=1$).
- Ý b) Sai: Giá trị $a=-5\ne -3$.
- Ý c) Đúng: Số sản phẩm công nhân $B$ hoàn thành sau $6$ giờ là $Q_2(6)={\int }_0^6(53-5t)dt={\left(53t-\frac{5t^2}{2}\right)|}_0^6=318-90=228$ (sản phẩm).
- Ý d) Đúng: Số sản phẩm công nhân $A$ hoàn thành sau $6$ giờ là $Q_1(6)={\int }_0^6(-2t^2+4t+58)dt={\left(-\frac{2t^3}{3}+2t^2+58t\right)|}_0^6=-144+72+348=276$ (sản phẩm). Vì $276>228$ nên số sản phẩm hoàn thành của công nhân $A$ nhiều hơn công nhân $B$.