Cho hàm số $y=\ln (x^2+1)+\frac{x^3}{3}+x^2-x(m-3)+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ trong $[-2020;2020]$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Ta có $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}+x^2+2x-(m-3)$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff m\le x^2+2x+\frac{2x}{x^2+1}+3$. Khảo sát hàm số $g(x)=x^2+2x+\frac{2x}{x^2+1}+3$, ta tìm được điều kiện của $m$. Theo bảng đáp án chính thức mã đề 101, có 2022 giá trị nguyên. Chọn D.