Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$.
a) Trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ ta có $y^{\prime }<0$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=-1$ nên không thể nói nghịch biến trên cả khoảng $(-2;0)$ → Sai.
b) Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$; giao điểm là $(-1;0)$ chứ không phải $I(-1;1)$ → Sai.
c) $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$. Qua $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=2$, tức $(0;2)$ là điểm cực tiểu (không phải cực đại) → Sai.
d) Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến tiệm cận xiên $x-y+1=0$ là $\frac{|1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: S, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, không nghịch biến trên $(-2;0)$ do gián đoạn tại $x=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$ cắt nhau tại $(-1;0)$, không phải $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=0$ nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,x-y+1=0)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.